Matematika memainkan peran yang menentukan untuk memahami perilaku dan cara kerja listrik dan sistem elektronik . Polinomial, Aljabar, Probabilitas, Integrasi, dan Diferensiasi dll… merupakan bagian penting dari alat yang digunakan untuk menyelesaikan sistem. Dengan meningkatnya kompleksitas sistem, diperlukan metode yang sangat canggih. Persamaan diferensial digunakan secara mencolok untuk mendefinisikan sistem kontrol. Persamaan ini mudah dipecahkan. Tetapi kompleksitas muncul saat menyelesaikan persamaan diferensial orde tinggi. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde tinggi yang kompleks tersebut, metode matematika yang terbukti efektif adalah Transformasi Laplace . Karena transformasi ini digunakan secara luas, ada gunanya untuk mengetahui untuk apa mereka sebenarnya dan bagaimana cara kerjanya.

Apa itu Transformasi Laplace?

Dalam matematika, transformasi diterapkan untuk mengubah variabel dari satu bentuk ke bentuk lain untuk membuat persamaan mudah ditangani. Transformasi Laplace melakukan hal yang sama. Mereka mengubah persamaan diferensial orde tinggi menjadi bentuk polinomial yang jauh lebih mudah daripada menyelesaikan persamaan diferensial secara langsung.

Tetapi ada berbagai transformasi seperti Transformasi Fourier, transformasi z Apa yang membuat transformasi Laplace istimewa? Keuntungan utama dari transformasi Laplace adalah, mereka didefinisikan untuk sistem yang stabil dan tidak stabil sedangkan transformasi Fourier hanya ditentukan untuk sistem yang stabil.

Formula Transformasi Laplace

Transformasi Laplace dari fungsi f (t) dalam domain waktu, di mana t adalah bilangan real lebih besar dari atau sama dengan nol, diberikan sebagai F (s), di mana ada s adalah bilangan kompleks dalam domain frekuensi. yaitu. s = σ + jω
Persamaan di atas dianggap sebagai sepihak Persamaan transformasi Laplace . Ketika batas diperpanjang ke seluruh sumbu nyata maka Transformasi Laplace Bilateral dapat didefinisikan sebagai
Di sirkuit praktis seperti Sirkuit RC dan RL biasanya, kondisi awal digunakan sehingga, transformasi Laplace satu sisi diterapkan untuk tujuan analisis.
Seperti s = σ + jω, jika σ = 0 Transformasi Laplace berperilaku sebagai Transformasi Fourier.

“apa itu pompa diafragma? ”

Rumus Transformasi Laplace

Kondisi Untuk Penerapan Transformasi Laplace

Transformasi Laplace disebut transformasi integral sehingga ada kondisi yang diperlukan untuk konvergensi transformasi ini.
yaitu f harus dapat diintegrasikan secara lokal untuk interval [0, ∞) dan bergantung pada apakah σ positif atau negatif, e ^ (- σt) mungkin membusuk atau tumbuh. Untuk transformasi Laplace bilateral daripada satu nilai, integral menyatu pada rentang nilai tertentu yang dikenal sebagai Wilayah Konvergensi.

Properti Transformasi Laplace:

Linearitas

Pergeseran Waktu

Pergeseran di S-domain

Pembalikan waktu

Diferensiasi dalam domain-S

Konvolusi dalam Waktu

Teorema Nilai Awal

Teorema nilai awal diterapkan ketika dalam transformasi Laplace derajat pembilang kurang dari derajat penyebut Teorema Nilai Akhir:

“apa yang diukur dengan megger? ”

Jika semua kutub sF terletak di setengah kiri teorema nilai akhir bidang-S diterapkan.

Transformasi Laplace Terbalik

Karena karakteristik konvergensi, transformasi Laplace juga memiliki transformasi invers. Transformasi Laplace memamerkan one-to-one mapping dari satu ruang fungsi ke ruang fungsi lainnya. Rumus transformasi Inverse Laplace adalah

Bagaimana Menghitung Transformasi Laplace?

Transformasi Laplace membuat persamaan lebih sederhana untuk ditangani. Ketika persamaan diferensial orde tinggi diberikan, transformasi Laplace diterapkan padanya yang mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan aljabar, sehingga membuatnya lebih mudah untuk ditangani. Kemudian kami menghitung akar dengan menyederhanakan persamaan aljabar ini. Sekarang invers Transformasi Laplace dari ekspresi sederhana ditemukan yang memecahkan persamaan diferensial orde tinggi yang diberikan.

Perhitungan Transformasi Laplace

Aplikasi Transformasi Laplace

Analisis kelistrikan dan sirkuit elektronik .
Memecah persamaan diferensial kompleks menjadi bentuk polinomial yang lebih sederhana.
Transformasi Laplace memberikan informasi tentang status mantap serta transien.
Dalam pembelajaran mesin, transformasi Laplace digunakan untuk membuat prediksi dan membuat analisis dalam data mining.
Transformasi Laplace menyederhanakan perhitungan dalam pemodelan sistem.

Penerapan Transformasi Laplace Dalam Pengolahan Sinyal

Transformasi Laplace sering dipilih untuk pemrosesan sinyal. Seiring dengan transformasi Fourier, file Transformasi Laplace digunakan untuk mempelajari sinyal dalam domain frekuensi. Ketika ada frekuensi kecil dalam sinyal dalam domain frekuensi, maka sinyal akan lancar dalam domain waktu. Penyaringan sinyal biasanya dilakukan dalam domain frekuensi dimana Laplace bertindak sebagai alat penting untuk mengubah sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi.

Penerapan Transformasi Laplace Dalam Sistem Kontrol

Sistem kontrol biasanya dirancang untuk mengontrol perilaku perangkat lain. Contoh sistem kontrol dapat berkisar dari pengontrol pemanas rumah sederhana hingga sistem kontrol industri yang mengatur perilaku mesin.

Umumnya, insinyur kontrol menggunakan persamaan diferensial untuk menggambarkan perilaku berbagai blok fungsional loop tertutup. Transformasi Laplace digunakan di sini untuk menyelesaikan persamaan ini tanpa kehilangan informasi variabel penting.

Karakterisasi Sistem Linier Time-Invariant Menggunakan Transformasi Laplace

Untuk sistem kasual ROC yang terkait dengan sistem, fungsinya adalah bidang setengah kanan. Suatu sistem anti-kasual jika respon impulsnya h (t) = 0 untuk t> 0.

Jika ROC dari sistem fungsi H (s) termasuk sumbu j then maka L.T.I. sistem tersebut disebut sistem stabil. Jika sistem kasual dengan fungsi sistem rasional H (s) memiliki bagian nyata negatif untuk semua kutubnya maka sistem tersebut stabil.

Jadi transformasi Laplace adalah alat penting dalam menganalisis rangkaian. Kita dapat mengatakan sebagai stetoskop adalah transformasi dokter Laplace untuk mengontrol insinyur. Apa yang Anda anggap transformasi Laplace? Dalam hal apa mereka membantu Anda?